题文
如图，已知曲线C：y＝x2(0≤x≤1)，O(0，0)，Q(1，0)，R(1，1)．取线段OQ的中点A1，过A1作x轴的垂线交曲线C于P1，过P1作y轴的垂线交RQ于B1，记a1为矩形A1P1B1Q的面积．分别取线段OA1，P1B1的中点A2，A3，过A2，A3分别作x轴的垂线交曲线C于P2，P3，过P2，P3分别作y轴的垂线交A1P1，RB1于B2，B3，记a2为两个矩形A2P2B2 A1与矩形A3P3B3B1的面积之和．以此类推，记an为2n－1个矩形面积之和，从而得数列{an}，设这个数列的前n项和为Sn．
(Ｉ)求a2与an；
(Ⅱ)求Sn，并证明Sn＜
． 题型：未知 难度：其他题型
答案
(Ｉ)
，
；（Ⅱ）见解析.
解析
（Ⅰ）根据题意先写出
各点坐标，再分别求
，然后总结与曲线
交点坐标，从而再求
；（Ⅱ）由（Ⅰ）知
的表达式，先把
变形为差的形式，再求
表达式，利用等比数列前
项和公式求
，然后把
与
进行比较，即得证.
试题解析：(Ｉ) 由题意知P1(
，
)，故a1＝
×
＝
．
又P2(
，
)，P3(
，
)，
故a2＝
×[
＋
－
]＝
×(12＋32－22)＝
．
由题意，对任意的k＝1，2，3，，n，有
(
，
)，i＝0，1，2，，2k－1－1，
故an＝
×[
＋
－
＋
－
＋＋
－
]
＝
×[12＋32－22＋52－42＋…＋(2n－1)2－(2n－2)2]
＝
×{1＋(4×1＋1)＋(4×2＋1)＋…＋[4×(2n－1－1)＋1]}
＝
×
＝
．
所以a2＝
，an＝
，n∈N*． 10分
(Ⅱ)由(Ｉ)知an＝
，n∈N*，
故Sn＝
－
＝
－
＝
．
又对任意的n∈N*，有
＞0，
所以Sn＝
＜
． 14分
考点
据考高分专家说，试题“如图，已知曲线C：y＝x2(0≤x≤1).....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质等比数列的定义：
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。
等比数列的性质：
在等比数列｛an｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则aman=apaq；当m+n=2p时，aman=ap2；
（2）若m，n∈N*，则am=anqm-n；
（3）若公比为q，则｛
｝是以
为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a1＞0，q＞1，则｛an｝为递增数列；
2）a1＜0，q＞1， 则｛an｝为递减数列；
3）a1＞0，0＜q＜1，则｛an｝为递减数列；
4）a1＜0， 0＜q＜1， 则｛an｝为递增数列；
5）q＜0，则｛an｝为摆动数列；若q＝1，则｛an｝为常数列。
如何证明一个数列是等比数列：
证明一个数列是等比数列，只需证明
是一个与n无关的常数即可（或an2=an-1an+1）。
