已知数列满足：求的值；求证：数列是等比数列；令，如果对任意，都有，求实数的取值范围.

题文

已知数列

满足：


（1）求

的值；
（2）求证：数列

是等比数列；
（3）令

（

），如果对任意

，都有

，求实数

的取值范围. 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）

；（2）

是以

为首相

为公比的等比数列；
（3）

解析

（1）利用赋值法，令

可求

；
（2）将等式写到

，再将得到的式子与已知等式联立，两式再相减，根据等比数列的定

，可证明

是以

为首相

为公比的等比数列；
（3）由（2）可写出

，利用数列的单调性当

时，

，当

时，

，因此，数列

的最大值为

，则

可解的

的范围. 
试题解析：（1）

 
（2）由题可知：

           ①


       ②
②-①可得

  即：

，又


∴数列

是以

为首项，以

为公比的等比数列
（3）由（2）可得

，   


由

可得


由

可得

,所以


故

有最大值

 
所以，对任意

，有


如果对任意

，都有

，即

成立，
则

，故有：

，解得

或


∴实数

的取值范围是

考点

据考高分专家说，试题“已知数列满足：（1）求的值；（2）求证：.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。