题文
已知
为实数，数列
满足
，当
时，
，
（Ⅰ）
；(5分)
（Ⅱ）证明：对于数列
，一定存在
，使
；(5分)
（Ⅲ）令
，当
时，求证：
(6分) 题型：未知 难度：其他题型
答案
（Ⅰ）
;（Ⅱ）详见解析;（Ⅲ）详见解析
解析
（Ⅰ）根据题意可得当
时，
成等差数列，当
时，
，可见由
得出前
项成等差数列，
项以后奇数项为
，偶数项为
，这样结合等差数列的前
项公式就可求出
;（Ⅱ）以
和
为界对
进行分类讨论，当
时，显然成立;当
时，由题中所给数列的递推关系
，不难得到
;当
时，得
，可转化为当
时的情况，命题即可得证; （Ⅲ）由
可得
，根据题中递推关系可得出
，进而可得出
=
，又
，由于
要对
分奇偶性，故可将相邻两整数
当作一个整体，要证不等式可进行适当放缩
，要对
分奇偶性，并结合数列求和的知识分别进行证明即可．
试题解析：（Ⅰ）
由题意知数列
的前34项成首项为100,公差为－3的等差数列,从第35项开始,奇数项均为3,偶数项均为1,从而
=
(3分)
=
. (5分)
（Ⅱ）证明：①若
,则题意成立 (6分)
②若
,此时数列
的前若干项满足
,即
.
设
,则当
时,
.
从而此时命题成立 (8分)
③若
,由题意得
,则由②的结论知此时命题也成立.
综上所述,原命题成立 (10分)
（Ⅲ）当
时，因为
,
所以
=
(11分)
因为
>0,所以只要证明当
时不等式成立即可.
而
(13分)
①当
时,
(15分)
②当
时,由于
>0,所以
<
综上所述,原不等式成立 (16分)
考点
据考高分专家说，试题“已知为实数，数列满足，当时，， （Ⅰ）；.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质等比数列的定义：
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。
等比数列的性质：
在等比数列｛an｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则aman=apaq；当m+n=2p时，aman=ap2；
（2）若m，n∈N*，则am=anqm-n；
（3）若公比为q，则｛
｝是以
为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a1＞0，q＞1，则｛an｝为递增数列；
2）a1＜0，q＞1， 则｛an｝为递减数列；
3）a1＞0，0＜q＜1，则｛an｝为递减数列；
4）a1＜0， 0＜q＜1， 则｛an｝为递增数列；
5）q＜0，则｛an｝为摆动数列；若q＝1，则｛an｝为常数列。
如何证明一个数列是等比数列：
证明一个数列是等比数列，只需证明
是一个与n无关的常数即可（或an2=an-1an+1）。
