在数列中，，若函数，在点处切线过点(1）求证：数列为等比数列；(2）求数列的通项公式和前n项和公式.

题文

在数列

中，

，若函数

，在点

处切线过点


(1）求证：数列

为等比数列；
(2）求数列

的通项公式和前n项和公式

. 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）详见解析；（2）

.

解析

（1）先求导函数

，由导数的几何意义得

，再求切线方程，将点

代入得数列

的递推式

，进而利用等比数列定义证明之；（2）求数列的前n项和，关键考察通项公式，根据通项公式的不同形式，选择相应的求和方法，一般情况下有①裂项相消法；②错位相减法；③分组求和法；④奇偶并项求和法，由（1）可得数列

的通项公式

，可利用分组求和法求和.
试题解析：（1）因为

，所以切线的斜率为

，切点

，切线方程为

，∴

，又因为过点

，所以

，即

①，

，∴

，即

，所以数列

是等比数列，且公比

.
（2）由（1）得

是公比为

，且首项为

的等比数列，则

，故

，所以



.

考点

据考高分专家说，试题“在数列中，，若函数，在点处切线过点(1）.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。