题文
称满足以下两个条件的有穷数列
为
阶“期待数列”：
①
；②
.
（1）若数列
的通项公式是
，
试判断数列
是否为2014阶“期待数列”，并说明理由；
（2）若等比数列
为
阶“期待数列”，求公比q及
的通项公式；
（3）若一个等差数列
既是
阶“期待数列”又是递增数列，求该数列的通项公式； 题型：未知 难度：其他题型
答案
（1）是；（2）
．
或
；
（3）
；
解析
（1）判断数列
是不是为2014阶“期待数列”，就是根据定义计算
，
，是不是一个为0，一个为1，如是则是“期待数列”，否则就不是；（2）数列
中等比数列，因此
是其前
和，故利用前前
项和公式，分
和
进行讨论，可很快求出
，
或
；（3）
阶等差数列是递增数列，即公差
，其和为0，故易知数列前面的项为负，后面的项为正，即前
项为正，后
项为正，因此有
，
，这两式用基本量或直接相减可求得
，
，因此通项公式可得．
试题解析：（1）因为
， 2分
所以
，
所以数列
为2014阶“期待数列” 4分
（2）①若
，由①得，
，得
，矛盾． 5分
若
，则由①
=0，得
， 7分
由②得
或
．
所以，
．数列
的通项公式是
或
9分
（3）设等差数列
的公差为
，
>0．
∵
，∴
，∴
，
∵
>0，由
得
，
， 11分
由①、②得
，
， 13分
两式相减得，
， ∴
，
又
，得
，
∴数列
的通项公式是
． 16分
和公式与通项公式；（3）等差数列的前
和公式与通项公式．
考点
据考高分专家说，试题“称满足以下两个条件的有穷数列为阶“期待数.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质等比数列的定义：
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。
等比数列的性质：
在等比数列｛an｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则aman=apaq；当m+n=2p时，aman=ap2；
（2）若m，n∈N*，则am=anqm-n；
（3）若公比为q，则｛
｝是以
为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a1＞0，q＞1，则｛an｝为递增数列；
2）a1＜0，q＞1， 则｛an｝为递减数列；
3）a1＞0，0＜q＜1，则｛an｝为递减数列；
4）a1＜0， 0＜q＜1， 则｛an｝为递增数列；
5）q＜0，则｛an｝为摆动数列；若q＝1，则｛an｝为常数列。
如何证明一个数列是等比数列：
证明一个数列是等比数列，只需证明
是一个与n无关的常数即可（或an2=an-1an+1）。
