设正项数列an为等比数列,它的前n项和为Sn,a1=1,且.(Ⅰ)求数列的通项公式；(Ⅱ)已知是首项为1,公差为2的等差数列,求数列的前n项和Tn．

题文

设正项数列

a_n

为等比数列,它的前n项和为S_n,a₁=1,且

.
(Ⅰ)求数列

的通项公式；
(Ⅱ)已知

是首项为1,公差为2的等差数列,求数列

的前n项和T_n． 题型：未知 难度：其他题型

答案

(Ⅰ)

；(Ⅱ)



.

解析

(Ⅰ)设在等比数列

中，公比为

, 根据

.建立

的方程.
(Ⅱ)由（I）可得

.从其结构上不难看出，应用“错位相减法”求和.
此类问题的解答，要特别注意和式中的“项数”.
试题解析：(Ⅰ)设在等比数列

中，公比为

,
∵

  ∴

   ∴

         2分
解得

或

        4分
所以

            6分
(Ⅱ)由已知得：

，则

.        7分





①           9分


②        10分
②—①,得











                12分

考点

据考高分专家说，试题“设正项数列an为等比数列,它的前n项和为.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。