题文
已知数列
的前
项和为
，且
．
（Ⅰ）求数列
的通项公式；
（Ⅱ）设
，
，求使
恒成立的实数
的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型
答案
（I）
；（Ⅱ）
.
解析
（I）首先由
求得
.为了求得通项公式，应由
消去
推得
的递推公式：
，即
，显然这是一个等比数列，由此可得其通项公式.
（Ⅱ）首先将
化简：
，显然用裂项法可求得
：
.
不等式
对任意
恒成立，也就是
恒成立，所以
.
设
，下面就来求其最大值.求数列的最值，首先研究数列的单调性.研究数列的单调性，一般考查相邻两项的差的符号.
，由此可知，
时，数列
单调递减，
时，数列
单调递增.所以
最大，从而
.
试题解析：（I）由
可得
， 1分
∵
， ∴
，
∴
，即
， 3分
∴数列
是以
为首项，公比为
的等比数列，∴
． 5分
（Ⅱ）
7分
∴
8分
由
对任意
恒成立，即实数
恒成立；
设
，
，
∴当
时，数列
单调递减，
时，数列
单调递增； 10分
又
，∴数列
最大项的值为
∴
12分
考点
据考高分专家说，试题“已知数列的前项和为，且．（Ⅰ）求数列的通.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质等比数列的定义：
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。
等比数列的性质：
在等比数列｛an｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则aman=apaq；当m+n=2p时，aman=ap2；
（2）若m，n∈N*，则am=anqm-n；
（3）若公比为q，则｛
｝是以
为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a1＞0，q＞1，则｛an｝为递增数列；
2）a1＜0，q＞1， 则｛an｝为递减数列；
3）a1＞0，0＜q＜1，则｛an｝为递减数列；
4）a1＜0， 0＜q＜1， 则｛an｝为递增数列；
5）q＜0，则｛an｝为摆动数列；若q＝1，则｛an｝为常数列。
如何证明一个数列是等比数列：
证明一个数列是等比数列，只需证明
是一个与n无关的常数即可（或an2=an-1an+1）。
