已知正项等比数列{an}满足：a3＝a2＋2a1，若存在两项am，an使得 ＝4a1，则的最小值为 (　　)．A．B．C．D．不存在

题文

已知正项等比数列{a_n}满足：a₃＝a₂＋2a₁，若存在两项a_m，a_n使得

＝4a₁，则

的最小值为 ( )．A．

B．

C．

D．不存在 题型：未知 难度：其他题型

答案

A

解析

设等比数列{a_n}的公比为q(q＞0)，
∵a₃＝a₂＋2a₁，
∴a₁q²＝a₁q＋2a₁，解之得q＝2.
又

＝4a₁，
∴

q^m＋n－2＝16

，
∴2^m＋n－2＝16.
因此m＋n＝6.
则

 (m＋n)＝5＋

＋

≥9.
当且仅当n＝2m(即n＝4，m＝2)时取等号．
∴

 (m＋n)的最小值为9，
从而

的最小值为

.

考点

据考高分专家说，试题“已知正项等比数列{an}满足：a3＝a2.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。