在1和2之间依次插入n个正数使得这个数构成递增的等比数列，将这个数的乘积记作，令.(1)求数列{}的通项公式；(2)令，设，求.

题文

在1和2之间依次插入n

个正数

使得这

个数构成递增的等比数列，将这

个数的乘积记作

，令

.
(1)求数列{

}的通项公式；
(2)令

，设

，求

. 题型：未知 难度：其他题型

答案

(1)

；(2)

.

解析

(1)由题意可设等比数列1,

,2的公比为

则

，

；根据题意可知



 所以

.
(2)由(1)和已知

 得

，


再由错位相减法求得：

,进而求出

.
试题解析：(1)法一：设等比数列1,

,2的公比为

则

，

；   2分
所以



      6分




               7分
(2)由已知

 得

，


由错位相减法求得：

     10分




                         13分
(1)法二：设等比数列1,

,2的公比为

，
则

，

.  ∴

.     4分







 ,

   7分
(1)法三：又




 
由等比数列的性质得：

 ∴

   7分

考点

据考高分专家说，试题“在1和2之间依次插入n个正数使得这个数构.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。