在正项等比数列{an}中，a5＝，a6＋a7＝3.则满足a1＋a2＋…＋an>a1a2…an的最大正整数n的值为________．

题文

在正项等比数列{a_n}中，a₅＝

，a₆＋a₇＝3.则满足a₁＋a₂＋…＋a_n>a₁a₂…a_n的最大正整数n的值为________． 题型：未知 难度：其他题型

答案

12

解析

由已知条件得

q＋

q²＝3，即q²＋q－6＝0，解得q＝2，或q＝－3(舍去)，a_n＝a₅q^n－5＝

×2^n－5＝2^n－6，a₁＋a₂＋…＋a_n＝

 (2ⁿ－1)，a₁a₂…a_n＝2^－52^－42^－3…2^n－6＝2

，由a₁＋a₂＋…＋a_n>a₁a₂…a_n，可知2^n－5－2^－5>2

，由2^n－5>2

，可求得n的最大值为12，而当n＝13时，2⁸－2^－5<2¹³，所以n的最大值为12.

考点

据考高分专家说，试题“在正项等比数列{an}中，a5＝，a6＋.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。