设等比数列{an}的前n项和为Sn，a4＝a1－9，a5，a3，a4成等差数列．(1)求数列{an} 的通项公式；(2)证明：对任意k∈N*，Sk＋2，Sk，S

题文

设等比数列{a_n}的前n项和为S_n，a₄＝a₁－9，a₅，a₃，a₄成等差数列．
(1)求数列{a_n} 的通项公式；
(2)证明：对任意k∈N^*，S_k＋2，S_k，S_k＋1成等差数列． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）a_n＝(－2)^n－1n∈N^*（2）见解析

解析

(1)解:在等比数列{a_n}中，a₅，a₃，a₄成等差数列，
∴2a₃＝a₅＋a₄，
即2a₁q²＝a₁q⁴＋a₁q³，整理得：q²＋q－2＝0.
解得q＝1，或q＝－2.
又a₄＝a₁－9，即a₁q³＝a₁－9，
当q＝1时，无解．
当q＝－2时，解得a₁＝1
∴等比数列{a_n}通项公式为a_n＝(－2)^n－1n∈N^*
(2)证明:∵S_n为等比数列{a_n}的前n项和，
∴S_k＝

＝

，S_k＋1＝

，S_k＋2＝

，
∵S_k＋1＋S_k＋2＝

＋

＝

＝

＝

＝2·

＝2S_k.
∴S_k＋1，S_k，S_k＋2成等差数列．

考点

据考高分专家说，试题“设等比数列{an}的前n项和为Sn，a4.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。