在数列{an}中，a1＝1，{an}的前n项和Sn满足2Sn＝an＋1.(1)求数列{an}的通项公式；(2)若存在n∈N*，使得λ≤，求实数λ的最大值．

题文

在数列{a_n}中，a₁＝1，{a_n}的前n项和S_n满足2S_n＝a_n＋1.
(1)求数列{a_n}的通项公式；
(2)若存在n∈N^*，使得λ≤

，求实数λ的最大值． 题型：未知 难度：其他题型

答案

(1) a_n＝

 (2) 3

解析

(1)由题意，当n≥2时，2S_n－1＝a_n,2S_n＝a_n＋1，
两式相减得2a_n＝a_n＋1－a_n，
即a_n＋1＝3a_n，又a₂＝2a₁＝2，
可见数列{a_n}从第二项起成公比为3的等比数列．
所以当n≥2时，a_n＝a₂·3^n－2＝2·3^n－2，
故a_n＝


(2)令b_n＝

，当n≥2时，b_n＝


当n≥2时，b_n＋1－b_n＝

－

＝

＝


<0.
所以当n≥2时，b_n＋1<b_n
所以，数列{b_n}从第二项起的各项成单调递减数列
而b₂＝

＝3，b₁＝

＝2，
由题意，λ≤

_max＝max{2,3}＝3.
所求实数λ的最大值是3.

考点

据考高分专家说，试题“在数列{an}中，a1＝1，{an}的前.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。