设数列{an}的前n项和为Sn，数列{Sn}的前n项和为Tn，满足Tn＝2Sn－n2，n∈N*.(1)求a1的值；(2)求数列{an}的通项公式．

题文

设数列{a_n}的前n项和为S_n，数列{S_n}的前n项和为T_n，满足T_n＝2S_n－n²，n∈N^*.
(1)求a₁的值；
(2)求数列{a_n}的通项公式． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）a₁＝1.（2）a_n＝3·2^n－1－2

解析

(1)当n＝1时，T₁＝2S₁－1².因为T₁＝S₁＝a₁，所以a₁＝2a₁－1，解得a₁＝1.
(2)当n≥2时，S_n＝T_n－T_n－1＝2S_n－n²－[2S_n－1－
(n－1)²]＝2S_n－2S_n－1－2n＋1，所以S_n＝2S_n－1＋2n－1，   ①
所以S_n＋1＝2S_n＋2n＋1，②
②－①得a_n＋1＝2a_n＋2.
所以a_n＋1＋2＝2(a_n＋2)，即

＝2(n≥2)． (*)
当n＝1时，a₁＋2＝3，a₂＋2＝6，则

＝2.
所以，当n＝1时，适合(*)式，所以{a_n＋2}是以3为首项，2为公比的等比数列．
则a_n＋2＝3·2^n－1，所以a_n＝3·2^n－1－2.

考点

据考高分专家说，试题“设数列{an}的前n项和为Sn，数列{S.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。