已知各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn，满足8Sn＝a＋4an＋3(n∈N*)，且a1，a2，a7依次是等比数列{bn}的前三项．(1)求数列{an}及

题文

已知各项均为正数的数列{a_n}的前n项和为S_n，满足8S_n＝a＋4a_n＋3(n∈N^*)，且a₁，a₂，a₇依次是等比数列{b_n}的前三项．
(1)求数列{a_n}及{b_n}的通项公式；
(2)是否存在常数a＞0且a≠1，使得数列{a_n－log_ab_n}(n∈N^*)是常数列？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）a_n＝4n－3，b_n＝5^n－1.（2）

解析

(1)n＝1时，8a₁＝

＋4a₁＋3，a₁＝1或a₁＝3.(2分)
当n≥2时，8S_n－1＝

＋4a_n－1＋3，
a_n＝S_n－S_n－1＝

(

＋4a_n－

－4a_n－1)，
从而(a_n＋a_n－1)(a_n－a_n－1－4)＝0
因为{a_n}各项均为正数，所以a_n－a_n－1＝4.(6分)
所以，当a₁＝1时，a_n＝4n－3；当a₁＝3时，a_n＝4n－1.
又因为当a₁＝1时，a₁，a₂，a₇分别为1,5,25，构成等比数列，
所以a_n＝4n－3，b_n＝5^n－1.
当a₁＝3时，a₁，a₂，a₇分别为3,7,27，不构成等比数列，舍去．(11分)
(2)假设存在a，理由如下：(12分)
由(1)知，a_n＝4n－3，b_n＝5^n－1，从而
a_n－lon_ab_n＝4n－3－log_a5^n－1＝4n－3－(n－1)·log_a5＝(4－log_a5)n－3＋log_a5.
由题意，得4－log_a5＝0，所以a＝

.(16分)

考点

据考高分专家说，试题“已知各项均为正数的数列{an}的前n项和.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。