已知数列{an}和{bn}满足：a1＝λ，an＋1＝an＋n－4，bn＝(－1)n(an－3n＋21)，其中λ为实数，n为正整数．(1)对任意实数λ，证明：数列

题文

已知数列{a_n}和{b_n}满足：a₁＝λ，a_n＋1＝

a_n＋n－4，b_n＝(－1)ⁿ(a_n－3n＋21)，其中λ为实数，n为正整数．
(1)对任意实数λ，证明：数列{a_n}不是等比数列；
(2)试判断数列{b_n}是否为等比数列，并证明你的结论． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）见解析（2）见解析

解析

(1)假设存在一个实数λ，使{a_n}是等比数列，则有

＝a₁a₃，即

²＝λ

⇔

λ²－4λ＋9＝

λ²－4λ⇔9＝0，矛盾，所以{a_n}不是等比数列．
(2)因为b_n＋1＝(－1)^n＋1[a_n＋1－3(n＋1)＋21]＝(－1)^n＋1

＝－

(－1)ⁿ·(a_n－3n＋21)＝－

b_n.又b₁＝－(λ＋18)，所以当λ＝－18时，
b_n＝0(n∈N^*)，此时{b_n}不是等比数列；
当λ≠－18时，b₁＝－(λ＋18)≠0，由b_n＋1＝－

b_n.
可知b_n≠0，所以

＝－

(n∈N^*)．故当λ≠－18时，
数列{b_n}是以－(λ＋18)为首项，－

为公比的等比数列．

考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}和{bn}满足：a1＝λ.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。