设表示数列的前项和.若为公比为的等比数列,写出并推导的计算公式; 若，，求证：<1.

题文

设

表示数列

的前

项和.
（1）若

为公比为

的等比数列,写出并推导

的计算公式;
（2）若

，

，求证：

<1. 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）

；（2）证明过程详见试题解析.

解析

（1）利用错位相减法进行推导，先写出

，然后将此式两边同时乘以公比

，得到

，两式相减可得：

，所以当

时，有

，但是要注意当

时，

；（2）若

，

，那么

，所以

.注意到

，证明过程中采用裂项相消法进行，有

.
试题解析：（1）因为

 
所以

①
将①式乘以公比

，可得

②
①-②得：


所以当

时，


当

时，


因此


（2）证明：因为

,所以

,

 
所以

 
因此

 
则



项和；数列不等式证明.

考点

据考高分专家说，试题“设表示数列的前项和.（1）若为公比为的等.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。