等比数列{cn}满足cn＋1＋cn＝10·4n－1(n∈N*)，数列{an}的前n项和为Sn，且an＝log2cn.(1)求an，Sn；(2)数列{bn}满足b

题文

等比数列{c_n}满足c_n＋1＋c_n＝10·4^n－1(n∈N^*)，数列{a_n}的前n项和为S_n，且a_n＝log₂c_n.
(1)求a_n，S_n；
(2)数列{b_n}满足b_n＝

，T_n为数列{b_n}的前n项和，是否存在正整数m(m>1)，使得T₁，T_m，T_6m成等比数列？若存在，求出所有m的值；若不存在，请说明理由． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）a_n＝2n－1，S_n＝n².（2）存在正整数m＝2，使得T₁，T_m，T_6m成等比数列．

解析

(1)因为c₁＋c₂＝10，c₂＋c₃＝40，所以公比q＝4，
由c₁＋4c₁＝10，得c₁＝2，c_n＝2·4^n－1＝2^2n－1，
所以a_n＝log₂2^2n－1＝2n－1.
S_n＝a₁＋a₂＋…＋a_n＝log₂c₁＋log₂c₂＋…＋log₂c_n＝log₂(c₁·c₂·…·c_n)＝log₂(2¹·2³·…·2^2n－1)＝log₂2^{(1＋3＋…＋2n－1)}＝n².
(2)由(1)知b_n＝

，
于是T_n＝

.
假设存在正整数m(m>1)，使得T₁，T_m，T_6m成等比数列，则


，整理得4m²－7m－2＝0，
解得m＝－

或m＝2.
由m∈N^*，m>1，得m＝2.
因此存在正整数m＝2，使得T₁，T_m，T_6m成等比数列．

考点

据考高分专家说，试题“等比数列{cn}满足cn＋1＋cn＝10.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。