已知数列{an}的前n项和Sn＝n2＋1，数列{bn}是首项为1，公比为b的等比数列．(1)求数列{an}的通项公式；(2)求数列{anbn}的前n项和Tn.

题文

已知数列{a_n}的前n项和S_n＝n²＋1，数列{b_n}是首项为1，公比为b的等比数列．
(1)求数列{a_n}的通项公式；
(2)求数列{a_nb_n}的前n项和T_n. 题型：未知 难度：其他题型

答案

(1) a_n＝

(2) T_n＝

解析

(1)当n＝1时，a₁＝S₁＝2；当n≥2时，a_n＝S_n－S_n－1＝n²＋1－(n－1)²－1＝2n－1.
所以a_n＝


(2)当b＝1时，a_nb_n＝


此时，T_n＝2＋3＋5＋…＋(2n－1)＝n²＋1.
当b≠1时，a_nb_n＝


此时，T_n＝2＋3b＋5b²＋…＋(2n－1)b^n－1，①
两端同时乘以b，得bT_n＝2b＋3b²＋5b³＋…＋(2n－1)bⁿ.②
①－②，得(1－b)T_n＝2＋b＋2b²＋2b³＋…＋2b^n－1－(2n－1)bⁿ＝
2(1＋b＋b²＋b³＋…b^n－1)－(2n－1)·bⁿ－b＝

－(2n－1)bⁿ－b，所以T_n＝

－

.
综上所述，T_n＝

考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}的前n项和Sn＝n2＋1.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。