数列{an}的前n项和记为Sn,a1=1,an+1=2Sn+1(n≥1,n∈N*),则数列{an}的通项公式是_______.

题文

数列{a_n}的前n项和记为S_n,a₁=1,a_n+1=2S_n+1(n≥1,n∈N^*),则数列{a_n}的通项公式是_______. 题型：未知 难度：其他题型

答案

a_n=3^n-1

解析

【思路点拨】根据a_n和S_n的关系转换a_n+1=2S_n+1(n≥1)为a_n+1与a_n的关系或者S_n+1与S_n的关系.
解:方法一:由a_n+1=2S_n+1可得a_n=2S_n-1+1(n≥2),两式相减得a_n+1-a_n=2a_n,a_n+1=3a_n(n≥2).
又a₂=2S₁+1=3,
∴a₂=3a₁,故{a_n}是首项为1,公比为3的等比数列,
∴a_n=3^n-1.
方法二:由于a_n+1=S_n+1-S_n,
a_n+1=2S_n+1,
所以S_n+1-S_n=2S_n+1,S_n+1=3S_n+1,
把这个关系化为S_n+1+

=3(S_n+

),
即得数列{S_n+

}为首项是S₁+

=

,
公比是3的等比数列,故S_n+

=

×3^n-1=

×3ⁿ,
故S_n=

×3ⁿ-

.
所以,当n≥2时,a_n=S_n-S_n-1=3^n-1,
由n=1时a₁=1也适合这个公式,知所求的数列{a_n}的通项公式是a_n=3^n-1.
【方法技巧】a_n和S_n关系的应用技巧
在根据数列的通项a_n与前n项和的关系求解数列的通项公式时,要考虑两个方面,一个是根据S_n+1-S_n=a_n+1把数列中的和转化为数列的通项之间的关系;一个是根据a_n+1=S_n+1-S_n把数列中的通项转化为前n项和的关系,先求S_n再求a_n.

考点

据考高分专家说，试题“数列{an}的前n项和记为Sn,a1=1.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。