数列{an}中，a1＝3，an＋1＝an＋cn(c是常数，n＝1，2，3，…)，且a1，a2，a3成公比不为1的等比数列．(1)求c的值；(2)求数列{an}的

题文

数列{a_n}中，a₁＝3，a_n＋1＝a_n＋cn(c是常数，n＝1，2，3，…)，且a₁，a₂，a₃成公比不为1的等比数列．
(1)求c的值；
(2)求数列{a_n}的通项公式． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）c＝0或c＝3（2）a_n＝

(n²－n＋2)

解析

(1)a₁＝3，a₂＝3＋c，a₃＝3＋3c，
∵a₁，a₂，a₃成等比数列，∴(3＋c)²＝3(3＋3c)，
解得c＝0或c＝3.
当c＝0时，a₁＝a₂＝a₃，不符合题意，舍去，故c＝3.
(2)当n≥2时，由a₂－a₁＝c，a₃－a₂＝2c，…，a_n－a_n－1＝(n－1)c，
则a_n－a₁＝[1＋2＋…＋(n－1)]c＝

c.
又∵a₁＝3，c＝3，∴a_n＝3＋

n(n－1)＝

(n²－n＋2)(n＝2，3，…)．
当n＝1时，上式也成立，∴a_n＝

(n²－n＋2)．

考点

据考高分专家说，试题“数列{an}中，a1＝3，an＋1＝an.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。