已知数列{an}是等差数列,a2=6,a5=12,数列{bn}的前n项和是Sn,且Sn+bn=1.(1)求数列{an}的通项公式.(2)求证:数列{bn}是等比

题文

已知数列{a_n}是等差数列,a₂=6,a₅=12,数列{b_n}的前n项和是S_n,且S_n+

b_n=1.
(1)求数列{a_n}的通项公式.
(2)求证:数列{b_n}是等比数列.
(3)记c_n=

,{c_n}的前n项和为T_n,若T_n<

对一切n∈N^*都成立,求最小正整数m. 题型：未知 难度：其他题型

答案

(1) a_n=2n+2   (2)见解析   (3) 2012

解析

(1)设{a_n}的公差为d,则a₂=a₁+d,a₅=a₁+4d.
∵a₂=6,a₅=12,∴


解得:a₁=4,d=2.∴a_n=4+2(n-1)=2n+2.
(2)当n=1时,b₁=S₁,由S₁+

b₁=1,得b₁=

.
当n≥2时,∵S_n=1-

b_n,S_n-1=1-

b_n-1,
∴S_n-S_n-1=

(b_n-1-b_n),即b_n=

(b_n-1-b_n).
∴b_n=

b_n-1.
∴{b_n}是以

为首项,

为公比的等比数列.
(3)由(2)可知:b_n=

·(

)^n-1=2·(

)ⁿ.
∴c_n=

=

=

=

-

,
∴T_n=(1-

)+(

-

)+(

-

)+…+(

-

)=1-

<1,
由已知得

≥1,∴m≥2012,
∴最小正整数m=2012.

考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}是等差数列,a2=6,a.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。