设Sn为数列{an}的前n项和,已知a1≠0,2an-a1=S1·Sn,n∈N*.(1)求a1,a2,并求数列{an}的通项公式;(2)求数列{nan}的前n项

题文

设S_n为数列{a_n}的前n项和,已知a₁≠0,2a_n-a₁=S₁·S_n,n∈N^*.
(1)求a₁,a₂,并求数列{a_n}的通项公式;
(2)求数列{na_n}的前n项和. 题型：未知 难度：其他题型

答案

(1) a₁=1   a₂=2   a_n=2^n-1  (2) B_n=1+(n-1)·2ⁿ

解析

解:(1)令n=1,得2a₁-a₁=

,即a₁=

.
因为a₁≠0,所以a₁=1.
令n=2,得2a₂-1=S₂=1+a₂,解得a₂=2.
当n≥2时,由2a_n-1=S_n,2a_n-1-1=S_n-1两式相减,
得2a_n-2a_n-1=a_n,即a_n=2a_n-1.
于是数列{a_n}是首项为1,公比为2的等比数列.
因此,a_n=2^n-1.所以数列{a_n}的通项公式为a_n=2^n-1.
(2)由(1)知,na_n=n·2^n-1.
记数列{n·2^n-1}的前n项和为B_n,
于是B_n=1+2×2+3×2²+…+n×2^n-1,①
2B_n=1×2+2×2²+3×2³+…+n×2ⁿ.②
①-②,得-B_n=1+2+2²+…+2^n-1-n·2ⁿ=2ⁿ-1-n·2ⁿ.
从而B_n=1+(n-1)·2ⁿ.

考点

据考高分专家说，试题“设Sn为数列{an}的前n项和,已知a1.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。