题文
已知数列{an}的前n项和Sn与通项an满足Sn=
-
an.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设f(x)=log3x,bn=f(a1)+f(a2)+…+f(an),Tn=
+
+…+
,求T2012;
(3)若cn=an·f(an),求{cn}的前n项和Un. 题型：未知 难度：其他题型
答案
(1) an=
n (2)
(3) Un=-
+
·
n+
n·
n+1
解析
解:(1)当n=1时,a1=
,
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=
-
an-
+
an-1,
所以an=
an-1,
即数列{an}是首项为
,公比为
的等比数列,
故an=
n.
(2)由已知可得f(an)=log3
n=-n.
则bn=-1-2-3-…-n=-
,
故
=-2(
-
),
又Tn=-2[(1-
)+(
-
)+…+(
-
)]
=-2(1-
),
所以T2012=-
.
(3)由题意得cn=-n·
n,
故Un=c1+c2+…+cn
=-[1×
1+2×
2+…+n×
n],
则
Un=-[1×
2+2×
3+…+n×
n+1],
两式相减可得
Un=-[
1+
2+…+
n-n·
n+1]
=-
[1-
n]+n·
n+1
=-
+
·
n+n·
n+1,
则Un=-
+
·
n+
n·
n+1.
考点
据考高分专家说，试题“已知数列{an}的前n项和Sn与通项an.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质等比数列的定义：
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。
等比数列的性质：
在等比数列｛an｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则aman=apaq；当m+n=2p时，aman=ap2；
（2）若m，n∈N*，则am=anqm-n；
（3）若公比为q，则｛
｝是以
为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a1＞0，q＞1，则｛an｝为递增数列；
2）a1＜0，q＞1， 则｛an｝为递减数列；
3）a1＞0，0＜q＜1，则｛an｝为递减数列；
4）a1＜0， 0＜q＜1， 则｛an｝为递增数列；
5）q＜0，则｛an｝为摆动数列；若q＝1，则｛an｝为常数列。
如何证明一个数列是等比数列：
证明一个数列是等比数列，只需证明
是一个与n无关的常数即可（或an2=an-1an+1）。
