在等比数列{an}中,a2a3=32,a5=32.(1)求数列{an}的通项公式;(2)设数列{an}的前n项和为Sn,求S1+2S2+…+nSn.

题文

在等比数列{a_n}中,a₂a₃=32,a₅=32.
(1)求数列{a_n}的通项公式;
(2)设数列{a_n}的前n项和为S_n,求S₁+2S₂+…+nS_n. 题型：未知 难度：其他题型

答案

(1) a_n=2ⁿ     (2) (n-1)2ⁿ⁺²+4-n(n+1)

解析

解:(1)设等比数列{a_n}的首项为a₁,公比为q,依题意得



解得a₁=2,q=2,
∴a_n=2·2^n-1=2ⁿ.
(2)∵S_n表示数列{a_n}的前n项和,
∴S_n=

=2(2ⁿ-1),
∴S₁+2S₂+…+nS_n=2[(2+2·2²+…+n·2ⁿ)-(1+2+…+n)]=2(2+2·2²+…+n·2ⁿ)-n(n+1),
设T_n=2+2·2²+…+n·2ⁿ①
则2T_n=2²+2·2³+…+n·2ⁿ⁺¹②
①-②,得-T_n=2+2²+…+2ⁿ-n·2ⁿ⁺¹
=

-n·2ⁿ⁺¹
=(1-n)2ⁿ⁺¹-2,
∴T_n=(n-1)2ⁿ⁺¹+2,
∴S₁+2S₂+…+nS_n=2[(n-1)2ⁿ⁺¹+2]-n(n+1)
=(n-1)2ⁿ⁺²+4-n(n+1).

考点

据考高分专家说，试题“在等比数列{an}中,a2a3=32,a.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。