已知正项数列，其前项和满足且是和的等比中项.(1)求数列的通项公式；(2) 符号表示不超过实数的最大整数，记，求.

题文

已知正项数列

，其前

项和

满足

且

是

和

的等比中项.
(1)求数列

的通项公式；
(2) 符号

表示不超过实数

的最大整数，记

，求

. 题型：未知 难度：其他题型

答案

(1) 所以

；(2)



.

解析

(1) 由

①
知

②
通过① ②得


整理得

，
根据

得到


所以

为公差为

的等差数列，由

求得

或

.验证舍去

.
(2) 由

得

，利用符号

表示不超过实数

的最大整数知，
当

时，

，
将

转化成

应用“错位相减法”求和.
试题解析：(1) 由

①
知

②               1分
由① ②得


整理得

           2分
∵

为正项数列∴

，∴

      3分
所以

为公差为

的等差数列，由

得

或

     4分
当

时，

，不满足

是

和

的等比中项.
当

时，

，满足

是

和

的等比中项.       
所以

.                 6分
(2) 由

得

，            7分
由符号

表示不超过实数

的最大整数知，当

时，

，   8分
所以令





∴

①            9分


②          10分
① ②得






即



.            12分

考点

据考高分专家说，试题“已知正项数列，其前项和满足且是和的等比中.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。