已知数列{an}的首项a1＝2a＋1(a是常数，且a≠－1)，an＝2an－1＋n2－4n＋2(n≥2)，数列{bn}的首项b1＝a，bn＝an＋n2(n≥2)

题文

已知数列{a_n}的首项a₁＝2a＋1(a是常数，且a≠－1)，
a_n＝2a_n－1＋n²－4n＋2(n≥2)，数列{b_n}的首项b₁＝a，
b_n＝a_n＋n²(n≥2)．
(1)证明：{b_n}从第2项起是以2为公比的等比数列；
(2)设S_n为数列{b_n}的前n项和，且{S_n}是等比数列，求实数a的值；
(3)当a>0时，求数列{a_n}的最小项． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）见解析（2）a＝－

（3）当a∈

时，最小项为8a－1；当a＝

时，最小项为4a或8a－1；当a∈

时，最小项为4a；当a＝

时，最小项为4a或2a＋1；
当a∈

时，最小项为2a＋1.

解析

(1)证明：∵b_n＝a_n＋n²，∴b_n＋1＝a_n＋1＋(n＋1)²＝2a_n＋(n＋1)²－4(n＋1)＋2＋(n＋1)²＝2a_n＋2n²＝2b_n(n≥2)．
由a₁＝2a＋1，得a₂＝4a，b₂＝a₂＋4＝4a＋4，∵a≠－1，
∴b₂≠0，即{b_n}从第2项起是以2为公比的等比数列．
(2)解：由(1)知b_n＝


S_n＝a＋

＝－3a－4＋(2a＋2)2ⁿ，当n≥2时，


＝

.
∵{S_n}是等比数列，∴

 (n≥2)是常数，∴3a＋4＝0，即a＝－

.
(3)解：由(1)知当n≥2时，b_n＝(4a＋4)2^n－2＝(a＋1)2ⁿ，
∴a_n＝


∴数列{a_n}为2a＋1，4a，8a－1，16a，32a＋7，…
显然最小项是前三项中的一项．
当a∈

时，最小项为8a－1；当a＝

时，最小项为4a或8a－1；
当a∈

时，最小项为4a；当a＝

时，最小项为4a或2a＋1；
当a∈

时，最小项为2a＋1.

考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}的首项a1＝2a＋1(a.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。