在各项均为正数的等比数列{an}中，已知a2＝2a1＋3，且3a2，a4，5a3成等差数列．(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn＝log3an，求数列{

题文

在各项均为正数的等比数列{a_n}中，已知a₂＝2a₁＋3，且3a₂，a₄，5a₃成等差数列．
(1)求数列{a_n}的通项公式；
(2)设b_n＝log₃a_n，求数列{a_nb_n}的前n项和S_n. 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）3ⁿ，n∈N（2）S_n＝

解析

(1)设{a_n}公比为q，由题意得q>0，
且

解得

 (舍)，
所以数列{a_n}的通项公式为a_n＝3·3^n－1＝3ⁿ，n∈N^．
(2)由(1)可得b_n＝log₃a_n＝n，所以a_nb_n＝n·3ⁿ.
所以S_n＝1·3＋2·3²＋3·3³＋…＋n·3ⁿ，
所以3S_n＝1·3²＋2·3³＋3·3⁴＋…＋n·3^n＋1，
两式相减得，2S_n＝－3－(3²＋3³＋…＋3ⁿ)＋n·3^n＋1＝－(3＋3²＋3³＋…＋3ⁿ)＋n·3^n＋1＝－

＋n·3^n＋1＝

，
所以数列{a_nb_n}的前n项和S_n＝

.

考点

据考高分专家说，试题“在各项均为正数的等比数列{an}中，已知.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。