设C1、C2、…、Cn、…是坐标平面上的一列圆，它们的圆心都在轴的正半轴上，且都与直线y＝x相切，对每一个正整数n，圆Cn都与圆Cn＋1相互外切，以rn表示Cn

题文

设C₁、C₂、…、C_n、…是坐标平面上的一列圆，它们的圆心都在轴的正半轴上，且都与直线y＝

x相切，对每一个正整数n，圆C_n都与圆C_n＋1相互外切，以r_n表示C_n的半径，已知{r_n}为递增数列．



(1)证明：{r_n}为等比数列；
(2)设r₁＝1，求数列

的前n项和. 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）见解析（2）

解析

(1)证明：将直线y＝

x的倾斜角记为θ，则有tanθ＝

，sinθ＝

.
设C_n的圆心为(λ_n，0)，则由题意得

＝

，得λ_n＝2r_n；同理λ_n＋1＝2r_n＋1，从而λ_n＋1＝λ_n＋r_n＋r_n＋1＝2r_n＋1，将λ_n＝2r_n代入，解得r_n＋1＝3r_n，故{r_n}为公比q＝3的等比数列．
(2)解：由于r_n＝1，q＝3，故r_n＝3^n－1，从而

＝n×3^1－n，
记S_n＝

＋

＋…＋

，则有S_n＝1＋2×3^－1＋3×3^－2＋…＋n×3^1－n，①


＝1×3^－1＋2×3^－2＋…＋(n－1)×3^1－n＋n×3^－n，②
①－②，得

＝1＋3^－1＋3^－2＋…＋3^1－n－n×3^－n＝

－n×3^－n＝

×3^－n，
∴S_n＝

×3^1－n＝

.

考点

据考高分专家说，试题“设C1、C2、…、Cn、…是坐标平面上的.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。