题文
已知数列
的前n项的和为
，且
，
（1）证明数列
是等比数列
（2）求通项
与前n项的和
；
（3）设
若集合M=
恰有4个元素，求实数
的取值范围. 题型：未知 难度：其他题型
答案
（1）证明见解析；（2）
，
；（3）
.
解析
（1）可以根据等比数列的定义证明，用后项比前项，即证
是常数，这由已知易得，同时要说明
；（2）由（1）
是公比为
的等比数列，因此它的通项公式可很快求得，即
，从而
，这个数列可以看作是一个等差数列和一个等比数列对应项相乘所得，因此其前
项和可用错位相减法求出；（3）这里我们首先要求出
，由（2）可得
，集合M=
恰有4个元素，即
中只有4个不同的值不小于
，故要研究数列
中元素的大小，可从单调性考虑，作差
，可见
，
，再计算后发现
，因此
应该满足
．
试题解析：（1）因为
，当
时，
.
又
，
（
）为常数，
所以
是以
为首项，
为公比的等比数列.
（2）由
是以
为首项，
为公比的等比数列得，
所以
.
由错项相减得
.
（3）因为
，所以
由于
所以，
，
.
因为集合
恰有4个元素，且
，
所以
.
考点
据考高分专家说，试题“已知数列的前n项的和为，且，（1）证明数.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质等比数列的定义：
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。
等比数列的性质：
在等比数列｛an｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则aman=apaq；当m+n=2p时，aman=ap2；
（2）若m，n∈N*，则am=anqm-n；
（3）若公比为q，则｛
｝是以
为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a1＞0，q＞1，则｛an｝为递增数列；
2）a1＜0，q＞1， 则｛an｝为递减数列；
3）a1＞0，0＜q＜1，则｛an｝为递减数列；
4）a1＜0， 0＜q＜1， 则｛an｝为递增数列；
5）q＜0，则｛an｝为摆动数列；若q＝1，则｛an｝为常数列。
如何证明一个数列是等比数列：
证明一个数列是等比数列，只需证明
是一个与n无关的常数即可（或an2=an-1an+1）。
