甲、乙两大超市同时开业，第一年的全年销售额均为a万元，由于经营方式不同，甲超市前n年的总销售额为(n2－n＋2)万元，乙超市第n年的销售额比前一年销售额多a万元

题文

甲、乙两大超市同时开业，第一年的全年销售额均为a万元，由于经营方式不同，甲超市前n年的总销售额为

(n²－n＋2)万元，乙超市第n年的销售额比前一年销售额多

a万元．
(1)设甲、乙两超市第n年的销售额分别为a_n、b_n,求a_n、b_n的表达式；
(2)若其中某一超市的年销售额不足另一超市的年销售额的50%，则该超市将被另一超市收购，判断哪一超市有可能被收购？如果有这种情况，将会出现在第几年？ 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）a_n＝

b_n＝

a(n∈N^*)（2）第7年乙超市的年销售额不足甲超市的一半，乙超市将被甲超市收购

解析

(1)假设甲超市前n年总销售额为S_n，则S_n＝

(n²－n＋2)(n≥2)，因为n＝1时，a₁＝a，则n≥2时，a_n＝S_n－S_n－1＝

(n²－n＋2)－

[(n－1)²－(n－1)＋2]＝a(n－1)，故a_n＝

又b₁＝a，n≥2时，b_n－b_n－1＝

a，故b_n＝b₁＋(b₂－b₁)＋(b₃－b₂)＋…＋(b_n－b_n－1)＝a＋

a＋

a＋…＋

a＝

a＝

a＝

a，显然n＝1也适合，故b_n＝

a(n∈N^*)．
(2)当n＝2时，a₂＝a，b₂＝

a，有a₂>

b₂；n＝3时，a₃＝2a，b₃＝

a，有a₃>

b₃；当n≥4时，a_n≥3a，而b_n<3a，故乙超市有可能被甲超市收购．
当n≥4时，令

a_n>b_n，则

 (n－1)a>

a
n－1>6－4·

.即n>7－4·

.又当n≥7时，0<4·

<1，
故当n∈N^*且n≥7时，必有n>7－4·

.
即第7年乙超市的年销售额不足甲超市的一半，乙超市将被甲超市收购．

考点

据考高分专家说，试题“甲、乙两大超市同时开业，第一年的全年销售.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。