已知等比数列为正项递增数列，且，，数列．求数列的通项公式；，求.

题文

已知等比数列

为正项递增数列，且

，

，数列

．
（1）求数列

的通项公式；
（2）

，求

. 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）

；（2）

.

解析

（1）首先要求出数列

的通项

，根据题设条件可采取基本量法，也可应用等比数列的性质，如

，

，

，可解得

或

，数列

又是递增的数列，这样取

，由此可得

，于是有

；（2）要求

，我们应该确定它是哪个数列的前

项和，从已知可能看出，可设

，因此求

时可用分组求和的方法，化为一个等比数列的和与一个常数列的和，即

.
试题解析：(1)∵{a_n}是正项等比数列，







两式相除得：

.                     2分
∴q＝3或者q＝

，
∵{a_n}为增数列，∴q＝3，a₁＝

.                 4分
∴a_n＝a₁q^n-1＝

·3^n－1＝2·3^n－5.∴b_n＝log₃

＝n－5.        6分
(2)T_n＝

＝(1－5)＋(2－5)＋(2²－5)＋ ＋(2^n－1－5)
＝

－5n=

－5n－1            12分(三步,每步2分）

考点

据考高分专家说，试题“已知等比数列为正项递增数列，且，，数列．.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。