题文
设数列
的前
项和为
，且
，其中
是不为零的常数．
（1）证明：数列
是等比数列；
（2）当
时，数列
满足
，
，求数列
的通项公式． 题型：未知 难度：其他题型
答案
（1）详见解析，（2）
解析
（1）先由
求
，需分段求解，即
时，
，
，当
时，
，
，因此
是首项为
，公比为
的等比数列．（2）由（1）可得
，因此由
得：
，即
，将这
个式子叠加得
，化简得
试题解析：（1）证明：因为
,则
，
所以当
时，
，整理得
． 4分
由
，令
，得
，解得
．
所以
是首项为
，公比为
的等比数列． 6分
（2）当
时，由（1）知，则
，
由
，得
， 8分
当
时，可得
＝
， 10分
当
时，上式也成立．
∴数列
的通项公式为
． 12分
考点
据考高分专家说，试题“设数列的前项和为，且，其中是不为零的常数.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质等比数列的定义：
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。
等比数列的性质：
在等比数列｛an｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则aman=apaq；当m+n=2p时，aman=ap2；
（2）若m，n∈N*，则am=anqm-n；
（3）若公比为q，则｛
｝是以
为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a1＞0，q＞1，则｛an｝为递增数列；
2）a1＜0，q＞1， 则｛an｝为递减数列；
3）a1＞0，0＜q＜1，则｛an｝为递减数列；
4）a1＜0， 0＜q＜1， 则｛an｝为递增数列；
5）q＜0，则｛an｝为摆动数列；若q＝1，则｛an｝为常数列。
如何证明一个数列是等比数列：
证明一个数列是等比数列，只需证明
是一个与n无关的常数即可（或an2=an-1an+1）。
