已知数列的前项和为满足.求数列的通项公式；求数列的前项和.

题文

已知数列

的前

项和为

满足

.
（1）求数列

的通项公式；
（2）求数列

的前

项和

. 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）

;（2）

解析

（1）利用数列前n项和与第n项关系求出

及第n项与第n-1项的递推关系，结合等比数列的定义知数列

是等比数列，再根据等比数列通项公式求出

的通项公式；（2）由（1）的结论及对数的运算法则，求出

的通项公式，由数列

的通项公式知，数列

是等比数列与等差数列对应项乘积构成的数列，故其求前n项和用错位相减法，再利用错位相减法求出数列

的前n项和

.
试题解析：（1）由

，得


当

时，有

，


所以数列

是以2为首项，2为公比的等比数列，所以


（2）由题意得

，所以




             ①


得

   ②


得

，所以

.

考点

据考高分专家说，试题“已知数列的前项和为满足.（1）求数列的通.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。