题文
我们把一系列向量
排成一列，称为向量列，记作
，又设
，假设向量列
满足：
，
。
（1）证明数列
是等比数列；
（2）设
表示向量
间的夹角，若
，记
的前
项和为
，求
；
（3）设
是
上不恒为零的函数，且对任意的
，都有
，若
，
，求数列
的前
项和
. 题型：未知 难度：其他题型
答案
（1）证明过程见试题解析（2）当
时，
；当
时，
（3）
解析
（1）由向量的坐标运算可得
，命题可证；（2）先求出
，可得
从而
由通项公式可求出
;（3）先由特值法求出
，由所给条件可得
，从而求出
的通项公式，进一步求出前
项和
.
试题解析：解：（1）
，∴数列
是等比数列
（2）
，∴当
时，
；当
时，
；
（3）令
，得
，令
，得
，∴
当
时，
，令
，则
，
故
，所以
，
所以
，因此
。
考点
据考高分专家说，试题“我们把一系列向量排成一列，称为向量列，记.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质等比数列的定义：
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。
等比数列的性质：
在等比数列｛an｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则aman=apaq；当m+n=2p时，aman=ap2；
（2）若m，n∈N*，则am=anqm-n；
（3）若公比为q，则｛
｝是以
为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a1＞0，q＞1，则｛an｝为递增数列；
2）a1＜0，q＞1， 则｛an｝为递减数列；
3）a1＞0，0＜q＜1，则｛an｝为递减数列；
4）a1＜0， 0＜q＜1， 则｛an｝为递增数列；
5）q＜0，则｛an｝为摆动数列；若q＝1，则｛an｝为常数列。
如何证明一个数列是等比数列：
证明一个数列是等比数列，只需证明
是一个与n无关的常数即可（或an2=an-1an+1）。
