设数列{an}的首项不为零，前n项和为Sn，且对任意的r，tN*，都有．求数列{an}的通项公式；设a1=1，b1=3，，求证：数列为

题文

设数列{a_n}的首项不为零，前n项和为S_n，且对任意的r，t

N^*，都有

．
（1）求数列{a_n}的通项公式（用a₁表示）；
（2）设a₁=1，b₁=3，

，求证：数列

为等比数列；
（3）在（2）的条件下，求

． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）

;（2）详见解析;（3）

．

解析

（1）根据题中所给数列递推关系的特征：

，有且只有前n项和的比值，而题中又要求以a₁表示，即可想到令

，

，得到

，这样问题即可转化为由

求

的问题，注意要分三步啊; （2）由（1）中所求

的表达式，并已知a₁=1，即可确定出

的通项公式和前n项和公式，再运用条件

，不难求出关系：

，结合所证数列的特征和等比数列的定义，可得

，即可得证;（3）由在（2）的条件下，即可得出

的通项公式：

化简得

，观察其特点和所求目标

，不难想到求出：

，运用代数知识化简得：

，这样就可联想到数列求和中的裂项相消的方法，可得：

．
试题解析：（1）因为

，令

，

，则

，得

，即

． 2分
当

时，

，且当

时，此式也成立．
故数列{a_n}的通项公式为

．                                   5分
（2）当

时，由（1）知

，S_n＝n²．
依题意，

时，

，                                         7分
于是

，且

，
故数列

是首项为1，公比为2的等比数列．                          10分
（3）由（2）得

，所以

．                  12分
于是

．                   15分
所以

．                      16分

考点

据考高分专家说，试题“设数列{an}的首项不为零，前n项和为S.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。