若函数满足：集合中至少存在三个不同的数构成等比数列，则称函数是等比源函数.判断下列函数：①；②中，哪些是等比源函数？证明：函数是等比源函

题文

若函数

满足：集合

中至少存在三个不同的数构成等比数列，则称函数

是等比源函数.
（1）判断下列函数：①

；②

中，哪些是等比源函数？（不需证明）
（2）证明：函数

是等比源函数；
（3）判断函数

是否为等比源函数，并证明你的结论. 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）①②都是等比源函数；（2）参考解析；（3）参考解析

解析

（1）函数

满足：集合

中至少存在三个不同的数构成等比数列，则称函数

是等比源函数.由等比源函数的定义可知.令x=1,2,4.即可得函数

对应的三项为等比数列.令x=10,100,10000即可得函数

对应的三项成等比数列.所以①②都是等比源函数.
（2）由函数

，通过列举三项即可得到证明.
（3）函数

，不是等比源函数.假设存在三项使得函数

是等比源函数，利用等比数列的等比通项的知识，以及奇偶性的知识即可得到函数

，不是等比源函数.
试题解析：（1）①②都是等比源函数；4分
（2）证明：

，

，


因为

成等比数列
所以函数

是等比源函数；10分
其他的数据也可以
（3）函数

不是等比源函数.证明如下：
假设存在正整数

且

，使得

成等比数列，


，整理得

，
等式两边同除以

得

.
因为

，所以等式左边为偶数，等式右边为奇数，
所以等式

不可能成立，
所以假设不成立，说明函数

不是等比源函数.18分

考点

据考高分专家说，试题“若函数满足：集合中至少存在三个不同的数构.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。