已知数列的前n项和为满足：．求证：数列是等比数列；令，对任意，是否存在正整数m，使都成立？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．

题文

已知数列

的前n项和为

满足：

．
（1）求证：数列

是等比数列；
（2）令

，对任意

，是否存在正整数m，使

都成立？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）详见解析；（2）m的值为1，2，3．

解析

（1）首先由题设找到

与

间的关系，然后证明

是一个常数.（2）首先求得


，由此得

，用裂项法可求得和

.由

对任意

都成立，得

，即

对任意

都成立，所以

小于等于

的最小值.
（1）当

时，

，解得

， 1分
当

时，由

得

，  2分
两式相减，得

，即

（

）， 3分
则

，故数列

是以

为首项，公比为3的等比数列． 4分
（2）由（1）知

，


， 6分
所以

， 7分
则

，  8分
由

对任意

都成立，得

， 10分
即

对任意

都成立，又

，
所以m的值为1，2，3．                    .12分

考点

据考高分专家说，试题“已知数列的前n项和为满足：．（1）求证：.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。