已知数列{an}成等比数列，且an＞０．若a2－a1=8，a3=m．①当m=48时，求数列{an}的通项公式；②若数列{an}是唯一的，求m的值；若

题文

已知数列{a_n}成等比数列，且a_n＞０．
（1）若a₂－a₁=8，a₃=m．
①当m=48时，求数列{a_n}的通项公式；
②若数列{a_n}是唯一的，求m的值；
（2）若a_2k＋a_2k－1＋ ＋a_k＋1－ (a_k＋a_k－1＋ ＋a₁ )＝8，k∈N*，求a_2k＋1＋a_2k＋2＋ ＋a_3k的最小值． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）①an＝8(2－

)(3＋

)n-1，或an＝8(2＋

)(3－

)n-1，②an＝2n＋2．．（2）32．．

解析

（1）①确定等比数列通项，只需确定首项及等比，这需两个独立条件．由a2－a1＝8，a3＝m＝48，得

解之，得

 或

所以数列{an}的通项公式为an＝8(2－

)(3＋

)n-1，或an＝8(2＋

)(3－

)n-1．②正确理解数列{an}是唯一的的含义，即关于a1与q的方程组

有唯一正数解，即方程8q2－mq＋m＝0有唯一解．由△＝m2－32m＝0，a3＝m＞0，所以m＝32，此时q＝2．经检验，当m＝32时，数列{an}唯一，其通项公式是an＝2n＋2．（2）由a2k＋a2k－1＋ ＋ak＋1－ (ak＋ak－1＋ ＋a1 )＝8，得a1(qk－1)(qk－1＋qk－2＋ ＋1)＝8，且q＞1．a2k＋1＋a2k＋2＋ ＋a3k＝a1q2k(qk－1＋qk－2＋ ＋1) ＝

＝

≥32，当且仅当

，即q＝

，a1＝8(

－1)时，a2k＋1＋a2k＋2＋ ＋a3k的最小值为32.
解：设公比为q，则由题意，得q＞0．
（1）①由a2－a1＝8，a3＝m＝48，得


解之，得

 或


所以数列{an}的通项公式为
an＝8(2－

)(3＋

)n-1，或an＝8(2＋

)(3－

)n-1．    5分
②要使满足条件的数列{an}是唯一的，即关于a1与q的方程组

有唯一正数解，即方程8q2－mq＋m＝0有唯一解．
由△＝m2－32m＝0，a3＝m＞0，所以m＝32，此时q＝2．
经检验，当m＝32时，数列{an}唯一，其通项公式是an＝2n＋2．   10分
（2）由a2k＋a2k－1＋ ＋ak＋1－ (ak＋ak－1＋ ＋a1 )＝8，
得a1(qk－1)(qk－1＋qk－2＋ ＋1)＝8，且q＞1．         13分
a2k＋1＋a2k＋2＋ ＋a3k＝a1q2k(qk－1＋qk－2＋ ＋1)
＝

＝

≥32，
当且仅当

，即q＝

，a1＝8(

－1)时，
a2k＋1＋a2k＋2＋ ＋a3k的最小值为32．        16分

考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}成等比数列，且an＞０．.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。