已知Sn是等比数列{an}的前n项和，S4，S2，S3成等差数列，且a2+a3+a4=﹣18．求数列{an}的通项公式；是否存在正

题文

（2013•湖北）已知S_n是等比数列{a_n}的前n项和，S₄，S₂，S₃成等差数列，且a₂+a₃+a₄=﹣18．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）是否存在正整数n，使得S_n≥2013？若存在，求出符合条件的所有n的集合；若不存在，说明理由． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）a_n=（﹣

）×（﹣2）ⁿ
（2）存在，见解析

解析

（1）设数列{a_n}的公比为q，显然q≠1，由题意得

，解得q=﹣2，a₃=12，
故数列{a_n}的通项公式为a_n=a₃•q^n﹣3=12×（﹣2）^n﹣3=（﹣

）×（﹣2）ⁿ．
（2）由（1）有a_n=（﹣

）×（﹣2）ⁿ．若存在正整数n，使得S_n≥2013，则S_n=

=1﹣（﹣2）ⁿ，即1﹣（﹣2）ⁿ≥2013，
当n为偶数时，2ⁿ≤﹣2012，上式不成立；
当n为奇数时，1+2ⁿ≥2013，即2ⁿ≥2012，则n≥11．
综上，存在符合条件的正整数n=2k+1（k≥5），且所有这样的n的集合为{n|n=2k+1（k≥5）}．

考点

据考高分专家说，试题“（2013•湖北）已知Sn是等比数列{a.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。