题文
（本题满分16分）已知数列
的前
项和
满足：
（t为常数，且
）．
（1）求
的通项公式；
（2）设
，试求t的值，使数列
为等比数列；
（3）在（2）的情形下，设
，数列
的前
项和为
，若不等式
对
任意的
恒成立，求实数
的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型
答案
（1）
（2）见解析（3）
解析
（1）当
时，
，得
． 2分
当.
.时，由
，即
，①
得，
，②
①
②，得
，即
，所以
，
所以
是首项和公比均为t的等比数列，于是
． 5分
（2）由（1）知，
，即
， 7分
要使数列
为等比数列，必须满足
，
而
，
于是
，解得
，
当
时，
，
由
，知
是首项和公比均为
的等比数列． 10分
（3）由（2）知，
，
所以
，
由不等式
恒成立，得
恒成立， 12分
设
，由
，
所以当
时，
，当
时，
， 14分
而
，所以
，即
．
故k的取值范围是
． 16分
【命题意图】本题考查等比数列、数列前
项和等知识 ，意在考查运算求解能力，数学综合论证能力.
考点
据考高分专家说，试题“（本题满分16分）已知数列的前项和满足：.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质等比数列的定义：
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。
等比数列的性质：
在等比数列｛an｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则aman=apaq；当m+n=2p时，aman=ap2；
（2）若m，n∈N*，则am=anqm-n；
（3）若公比为q，则｛
｝是以
为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a1＞0，q＞1，则｛an｝为递增数列；
2）a1＜0，q＞1， 则｛an｝为递减数列；
3）a1＞0，0＜q＜1，则｛an｝为递减数列；
4）a1＜0， 0＜q＜1， 则｛an｝为递增数列；
5）q＜0，则｛an｝为摆动数列；若q＝1，则｛an｝为常数列。
如何证明一个数列是等比数列：
证明一个数列是等比数列，只需证明
是一个与n无关的常数即可（或an2=an-1an+1）。
