已知数列{an}为等差数列,a3=5,a7=13,数列{bn}的前n项和为Sn,且有Sn=2bn-1,(1)求{an},{bn}的通项公式.(2)若cn=anb

题文

已知数列{a_n}为等差数列,a₃=5,a₇=13,数列{b_n}的前n项和为S_n,且有S_n=2b_n-1,
(1)求{a_n},{b_n}的通项公式.
(2)若c_n=a_nb_n,{c_n}的前n项和为T_n,求T_n. 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）a_n=2n-1(n∈N^*)      b_n=2^n-1(n∈N^*).
（2）T_n=(2n-3)·2ⁿ+3(n∈N^*)

解析

(1)因为{a_n}是等差数列,且a₃=5,a₇=13,设公差为d.
所以

解得


所以a_n=1+2(n-1)=2n-1(n∈N^*).
在{b_n}中,因为当n=1时,b₁=2b₁-1,所以b₁=1.
当n≥2时,由S_n=2b_n-1及S_n-1=2b_n-1-1可得b_n=2b_n-2b_n-1,所以b_n=2b_n-1.
所以{b_n}是首项为1公比为2的等比数列,
所以b_n=2^n-1(n∈N^*).
(2)c_n=a_nb_n=(2n-1)·2^n-1,
T_n=1+3×2+5×2²+…+(2n-1)×2^n-1 ①
2T_n=1×2+3×2²+5×2³+…+(2n-3)·2^n-1+(2n-1)·2ⁿ②
①-②得
-T_n=1+2×2+2×2²+…+2×2^n-1-(2n-1)·2ⁿ
=1+2×

-(2n-1)·2ⁿ
=1+4(2^n-1-1)-(2n-1)·2ⁿ=-3-(2n-3)·2ⁿ,
所以T_n=(2n-3)·2ⁿ+3(n∈N^*).

考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}为等差数列,a3=5,a.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。