已知数列{}中, ,,(1)求证数列{}为等比数列．(2)判断265是否是数列{}中的项,若是,指出是第几项,并求出该项以前所有项的和(不含265),若不是,说

题文

已知数列{

}中,

,

,
(1)求证数列{



}为等比数列．
(2)判断265是否是数列{

}中的项,若是,指出是第几项,并求出该项以前所有项的和(不含265),若不是,说明理由． 题型：未知 难度：其他题型

答案

(1) 详见解析；(2) 265是数列

中的第9项。

解析

(1) 根据等比数列的定义证明

 为常数即可。(2)由（1）可得数列

的通项公式，从而可得

，解

，解得

若为正整数，说明265是

中的项；否则不是数列

中的项。
(1)证明由

知







 



 






{



}是以1为首项,以2为公比的等比数列．           6分
(2)．由(1)知

,



．           8分
265是数列

中的第9项．(原因是

是递增数列,265是奇数,它只能为

中的奇数项,又

2

 

猜想是第9 项,经验证符合猜想,不写原因不扣分) 9分




                     12分

考点

据考高分专家说，试题“已知数列{}中, ,,(1)求证数列{}.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。