某市为控制大气PM2.5的浓度，环境部门规定：该市每年的大气主要污染物排放总量不能超过55万吨，否则将采取紧急限排措施.已知该市2013年的大气主要污染物排放总

题文

某市为控制大气PM2.5的浓度，环境部门规定：该市每年的大气主要污染物排放总量不能超过55万吨，否则将采取紧急限排措施.已知该市2013年的大气主要污染物排放总量为40万吨，通过技术改造和倡导绿色低碳生活等措施，此后每年的原大气主要污染物排放最比上一年的排放总量减少10%.同时，因为经济发展和人口增加等因素，每年又新增加大气主要污染物排放量

万吨.
（1）从2014年起，该市每年大气主要污染物排放总量（万吨）依次构成数列

，求相邻两年主要污染物排放总量的关系式；
（2）证明：数列

是等比数列；
（3）若该市始终不需要采取紧急限排措施，求m的取值范围. 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）

,

（

）；（2）详见解析；（3）

.

解析

（1）根据题意：

,

（

）
（2）由（1）得：

，所以数列

是等比数列；
（3）由（2）得：

 




若该市始终不需要采取紧急限排措施，则

，即

，可由分离变量法求

的取值范围.
解：（1）由已知，

,

（

）.   4分
（2）由（1）得：

，所以数列

是以

为首项、

为公比的等比数列.   6分
（3）由（2）得：

 ，
即

 .                          8分
由

 ，得

恒成立（

）  11分
解得：

；
又

 ，综上，可得

.                    12分

考点

据考高分专家说，试题“某市为控制大气PM2.5的浓度，环境部门.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。