题文
若正项数列
满足条件：存在正整数
，使得
对一切
都成立，则称数列
为
级等比数列．
（1）已知数列
为2级等比数列，且前四项分别为
，求
的值；
（2）若
为常数），且
是
级等比数列，求
所有可能值的集合，并求
取最小正值时数列
的前
项和
；
（3）证明：
为等比数列的充要条件是
既为
级等比数列，
也为
级等比数列． 题型：未知 难度：其他题型
答案
（1）
（2）
，0，（3）详见解析.
解析
（1）解新定义数列问题，关键从定义出发，建立等量关系.
,
,
,（2）本题化简是关键.因为
是
级等比数列，所以
所以
，
最小正值等于
，此时
，（3）充分性就是验证，易证，关键在于证必要性，可从两者中在交集（共同元素）出发.
,
成等比数列, 因此
既是
中的项，也是
中的项，
既是
中的项，也是中
的项，可得它们公比的关系，进而推出三者结构统一，得出等比数列的结论.
解（1）
（2分）
（4分）
（2）
是
级等比数列，
（1分）
所以
，
（3分）
最小正值等于
，此时
，
，
（5分）
（6分）
（3）充分性：若
为等比数列，则
对一切
成立，显然对
成立。
所以
既为
级等比数列，
也为
级等比数列。 （2分）
必要性：若
为
级等比数列，
，则
均成等比数列，设等比数列
的公比分别为
，
为
级等比数列，
，则
成等比数列，设公比为
（3分）
既是中
的项，也是
中的项，
既是中
的项，也是中
的项，
（5分）
设
，则
所以
（
），
（
），
又
，
，
所以
， （7分）
（
）
所以，
，
（
）
综合得：
，显然
为等比数列。 （8分）
考点
据考高分专家说，试题“若正项数列满足条件：存在正整数，使得对一.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质等比数列的定义：
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。
等比数列的性质：
在等比数列｛an｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则aman=apaq；当m+n=2p时，aman=ap2；
（2）若m，n∈N*，则am=anqm-n；
（3）若公比为q，则｛
｝是以
为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a1＞0，q＞1，则｛an｝为递增数列；
2）a1＜0，q＞1， 则｛an｝为递减数列；
3）a1＞0，0＜q＜1，则｛an｝为递减数列；
4）a1＜0， 0＜q＜1， 则｛an｝为递增数列；
5）q＜0，则｛an｝为摆动数列；若q＝1，则｛an｝为常数列。
如何证明一个数列是等比数列：
证明一个数列是等比数列，只需证明
是一个与n无关的常数即可（或an2=an-1an+1）。
