题文
已知等比数列
满足：
，公比
，数列
的前
项和为
，且
.
（1）求数列
和数列
的通项
和
；
（2）设
，证明：
. 题型：未知 难度：其他题型
答案
（1）
，
；（2）详见解析.
解析
（1）利用等比数列的通项公式求出数列
的通项公式，然后先令
求出
的值，然后在
的前提下，由
得到
，解法一是利用构造法得到
，构造数列
为等比数列，求出该数列的通项公式，从而得出
的通项公式；解法二是在
的基础上得到
，两边同除以
得到
， 利用累加法得到数列
的通项公式，从而得到数列
的通项公式；（2）利用放缩法得到
，从而证明
，或者利用不等式的性质得到
，从而证明
.
（1）解法一：由
，
得，
，
由上式结合
得
，
则当
时，
，
，
，
，
，
数列
是首项为
，公比为
的等比数列，
，
；
解法二：由
，
得，
，
由上式结合
得
，
则当
时，
，
，
，
，
，
，
；
（2）由
得
，
，
或
.
考点
据考高分专家说，试题“已知等比数列满足：，公比，数列的前项和为.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质等比数列的定义：
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。
等比数列的性质：
在等比数列｛an｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则aman=apaq；当m+n=2p时，aman=ap2；
（2）若m，n∈N*，则am=anqm-n；
（3）若公比为q，则｛
｝是以
为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a1＞0，q＞1，则｛an｝为递增数列；
2）a1＜0，q＞1， 则｛an｝为递减数列；
3）a1＞0，0＜q＜1，则｛an｝为递减数列；
4）a1＜0， 0＜q＜1， 则｛an｝为递增数列；
5）q＜0，则｛an｝为摆动数列；若q＝1，则｛an｝为常数列。
如何证明一个数列是等比数列：
证明一个数列是等比数列，只需证明
是一个与n无关的常数即可（或an2=an-1an+1）。
