设实数数列{an}的前n项和Sn满足Sn+1=an+1Sn．若a1，S2，﹣2a2成等比数列，求S2和a3．

题文

（12分）（2011•重庆）设实数数列{a_n}的前n项和S_n满足S_n+1=a_n+1S_n（n∈N^*）．
（Ⅰ）若a₁，S₂，﹣2a₂成等比数列，求S₂和a₃．
（Ⅱ）求证：对k≥3有0≤a_k≤

． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）S₂=﹣2  

（Ⅱ）见解析

解析

（Ⅰ）由题意

，得S₂²=﹣2S₂，由S₂是等比中项知S₂=﹣2，由此能求出S₂和a₃．
（Ⅱ）由题设条件知S_n+a_n+1=a_n+1S_n，S_n≠1，a_n+1≠1，且

，

，由此能够证明对k≥3有0≤a_n﹣1≤

．
解：（Ⅰ）由题意

，
得S₂²=﹣2S₂，
由S₂是等比中项知S₂≠0，
∴S₂=﹣2．
由S₂+a₃=a₃S₂，解得

．
（Ⅱ）证明：因为S_n+1=a₁+a₂+a₃+…+a_n+a_n+1=a_n+1+S_n，
由题设条件知S_n+a_n+1=a_n+1S_n，
∴S_n≠1，a_n+1≠1，且

，


从而对k≥3 有a_k=

=

=

①
因

，且

，
要证

，由①，只要证


即证

，即

，
此式明显成立，因此

．
点评：本题考查数列的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意公式的合理运用．

考点

据考高分专家说，试题“（12分）（2011•重庆）设实数数列{.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。