甲、乙两容器中分别盛有两种浓度的某种溶液，从甲容器中取出溶液，将其倒入乙容器中搅匀，再从乙容器中取出溶液，将其倒入甲容器中搅匀，这称为是一次调和，已知第一次调和

题文

甲、乙两容器中分别盛有两种浓度的某种溶液

，从甲容器中取出

溶液，将其倒入乙容器中搅匀，再从乙容器中取出

溶液，将其倒入甲容器中搅匀，这称为是一次调和，已知第一次调和后，甲、乙两种溶液的浓度分别记为：

，

，第

次调和后的甲、乙两种溶液的浓度分别记为：

、

.
（1）请用

、

分别表示

和

；
（2）问经过多少次调和后，甲乙两容器中溶液的浓度之差小于

. 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）

，

；（2）

.

解析

（1）根据题中条件归纳出第

次调和时乙容器中溶质的量

等于从甲容器中取出的溶质的量

以及从乙容器中本身的溶质的量

之和，从而得到

与

和

之间的关系，利用同样的方法得到

与

与

，从而实现利用

和

来表示

；（2）利用（1）中的表达式并结合定义得到数列

为等比数列，求出该数列的首项与公比，确定数列

的通项公式，然后解不等式

，求出相应的

即可.
（1）由题意可设在第一次调和后的浓度为

，

，


；



（2）由于题目中的问题是针对浓度之差，所以，我们不妨直接考虑数列

．
由（1）可得：


，
所以，数列

是以

为首项，以

为公比的等比数列．
所以，

，
由题，令

，得

．所以，

，
由

得

，所以，

.
即第

次调和后两溶液的浓度之差小于

.

考点

据考高分专家说，试题“甲、乙两容器中分别盛有两种浓度的某种溶液.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。