[2013·陕西模拟]在等比数列{an}和等差数列{bn}中，a1＝b1>0，a3＝b3>0，a1≠a3，则a5与b5的大小关系为________．

题文

[2013·陕西模拟]在等比数列{a_n}和等差数列{b_n}中，a₁＝b₁>0，a₃＝b₃>0，a₁≠a₃，则a₅与b₅的大小关系为________． 题型：未知 难度：其他题型

答案

a₅>b₅

解析

设公比为q，公差为d.
则a₃＝a₁q²，b₃＝b₁＋2d＝a₁＋2d，
由a₃＝b₃，
∴2d＝a₁(q²－1)．
又∵a₁≠a₃，
∴q²≠1.
∴a₅－b₅＝a₁q⁴－(a₁＋4d)＝a₁(q²－1)²>0.
∴a₅>b₅.

考点

据考高分专家说，试题“[2013·陕西模拟]在等比数列{an}.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。