已知数列的前项和为，且.(1)求的通项公式；(2)设恰有5个元素，求实数的取值范围.

题文

已知数列

的前

项和为

，且

.
(1)求

的通项公式；
(2)设

恰有5个元素，求实数

的取值范围. 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）

；（2）

.

解析

（1）先将递推式变形为

，进而判断数列

为等比数列，根据等比数列的通项公式即可求出

；（2）由（1）中

，该数列的通项是由一个等差与一个等比数列的通项公式相乘，于是可用错位相减法求出

，进而得到

，然后判断数列

的单调性，进而根据集合

恰有5个元素，确定

的取值范围即可.
(1)由已知得

，其中


所以数列

是公比为

的等比数列，首项




，所以


由（1）知


所以


所以








因此

，


所以，当

即

，

即





要使得集合

有5个元素，实数

的取值范围为

.

项和；3.数列的单调性.

考点

据考高分专家说，试题“已知数列的前项和为，且.(1)求的通项公.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。