已知数列的首项。求证：是等比数列，并求出的通项公式；证明：对任意的；证明：。

题文

已知数列

的首项

。
（1）求证：

是等比数列，并求出

的通项公式；
（2）证明：对任意的

；
（3）证明：

。 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）见解析  （2）见解析   （3）见解析

解析

（1）由题意

两边同时取倒数，

，
又

，所以

 是以

为首项，以

为公比的等比数列，然后由等比数列的通项公式可求出

的通项公式；
（2）由（1）知

则注意到

，

，即可．
（3）左边不等式，由

可得

；
证右边不等式，由（2）知

取

，则


（1）

，又

所以

是以

为首项，以

为公比的等比数列．


（2）由（1）知








（3）先证左边不等式，由

知

；
当

时等号成立；
再证右边不等式，由（2）知，对任意

，有

，取

，
则

考点

据考高分专家说，试题“已知数列的首项。（1）求证：是等比数列，.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。